Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\)là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA = a\sqrt 6 \) và vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính theo \(a\) diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\).
- A \(8\pi {a^2}\).
- B \({a^2}\sqrt 2 \).
- C \(2\pi {a^2}\).
- D \(2{a^2}\).
Phương pháp giải:
Gọi I là trung điểm của SC, sử dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(I\) là trung điểm\(SC\).
Ta có \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot SB\). Chứng minh tương tự ta có \(CD \bot SD\).
Ba tam giác \(\Delta SAC,\Delta SBC,\Delta SDC\) là ba tam giác vuông có chung cạnh huyền \(SC\) nên ta có \(AI = BI = DI = \frac{1}{2}SC = SI = CI\). Do đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) và \(R = IS = IA = IB = IC{\rm{ }} = ID = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {6{a^2} + 2{a^2}} }}{2} = a\sqrt 2 \).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC{\rm{D}}\) là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi {a^2}\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
