Phương pháp giải:

Xác định tọa độ các điểm cực trị và tìm điều kiện để O, A, B, C là các đỉnh của một hình thoi.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 2m \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4{m^2}x\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4{m^2}x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2}\end{array} \right.\end{array}\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì \(m \ne 0\). Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị:

\(A\left( { - m;\,\, - {m^4} + 2m} \right),\,\,B\left( {0;2m} \right),\,\,C\left( {m;\,\, - {m^4} + 2m} \right)\)

Do AC luôn nhận Oy là trục đối xứng và \(O,\,\,B \in Oy\) nên để O, A, B, C là các đỉnh của một hình thoi thì \(OA = AB\)

\( \Leftrightarrow O{A^2} = A{B^2} \Leftrightarrow {m^2} + {\left( { - {m^4} + 2m} \right)^2} = {m^2} + {\left( { - {m^4} + 2m - 2m} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{m^4} - 2m} \right)^2} = {m^8} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^4} - 2m = {m^4}}\\
{{m^4} - 2m = {\rm{}} - {m^4}}
\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0}\\
{{m^4} - m = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (L)}\\
{m = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (TM)}
\end{array}} \right.\)

Vậy, \(m = 1\).

Chọn: A