Phương pháp giải:

Dựa vào giả thiết, tìm điều kiện biến \(t=x+y\) đưa về khảo sát hàm một biến tìm giá trị lớn nhất

Lời giải chi tiết:

TH1: Với \(\left\{ \begin{align} & x,\,y>0 \\& x+y<1 \\\end{align} \right.\)\(\Rightarrow x,\,\,y\in \left( 0;1 \right)\)\(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}<x \\& {{y}^{2}}<y \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}<x+y\)\(\Rightarrow \) \({{\log }_{x\,+\,y}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)>1\) (loại).

TH2: Với \(x+y\ge 1.\) Ta có \({{\log }_{x\,+\,y}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\le 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le x+y\) mà \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{2}\)

Suy ra \(x+y\ge \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{2}\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-2\left( x+y \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le x+y\le 2\). Đặt \(t=x+y\,\,\xrightarrow{{}}\,\,t\in \left[ 1;2 \right].\)

Khi đó, xét hàm số \(A=f\left( t \right)=48{{t}^{3}}-156{{t}^{2}}+133t+4\) trên \(\left[ 1;2 \right],\) có \({f}'\left( t \right)=144{{t}^{2}}-312t+133.\)

Phương trình \({f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{19}{12}.\) Tính \(f\left( 1 \right)=29;\,\,f\left( \frac{19}{12} \right)=\frac{505}{36};\,\,f\left( 2 \right)=30\)\(\Rightarrow \,\,{{A}_{\max }}=30.\)

Chọn C