Phương pháp giải:

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn, biện luận trường hợp để tìm min theo tham số m

Lời giải chi tiết:

Ta có \({y}'=m-\frac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}};\ \,\forall x\in \left[ 0;3 \right]\) và \(y\left( 0 \right)=36;\,\,\ y\left( 3 \right)=3m+9.\)

TH1: Hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\le \frac{9}{4} \\  & \min y=3m+9=20 \\ \end{align} \right.\ \) (vô nghiệm).

TH2: Phương trình \({y}'=m-\frac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\,\xrightarrow{m\,\,>\,\,0}\,\,{y}'=0\Leftrightarrow x=-1+\frac{6}{\sqrt{m}}.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(20\,\,\Rightarrow \,\,y\left( -1+\frac{6}{\sqrt{m}} \right)=20\)

\(\Leftrightarrow m\left( -1+\frac{6}{\sqrt{m}} \right)+\frac{36}{-\,1+\frac{6}{\sqrt{m}}+1}\Leftrightarrow -\,m+6\sqrt{m}+6\sqrt{m}=20\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=4 \\  & m=100 \\ \end{align} \right..\)

Với \(m=100\) loại vì \(-\,1+\frac{6}{\sqrt{100}}=-\frac{2}{5}\notin \left[ 0;3 \right].\) Vậy \(m=4\in \left( 2;4 \right].\)

Chọn C