Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên trên đoạn để tìm max – min

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\ne 1.\)  

Ta có \(y=x+\frac{4}{x+1}\Rightarrow {y}'=1-\frac{4}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,.\)

\(\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1\in \left[ 0;\ 2 \right] \\  & x=3\notin \left[ 0;\ 2 \right] \\ \end{align} \right..\)

Tính 

\(y\left( 0 \right) = 4;{\rm{ }}\;y\left( 2 \right) = \frac{{10}}{3};{\rm{ }}\;y\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\min y = 3\\
\max y = 4
\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
A = 4
\end{array} \right. \Rightarrow a + A = 7.\)

Chọn B