Câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{{x^2}}}{4};\,\,y = - \frac{{{x^2}}}{4};\,\,x = - 4;\,\,x = 4\) và \(\left( {{H_2}} \right)\) là hình gồm tất cả các điểm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa \({x^2} + {y^2} \le 16;\,\,{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \ge 4;\,\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \ge 4\).
Cho \(\left( {{H_1}} \right)\) và \(\left( {{H_2}} \right)\) quanh quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích là \({V_1},\,\,{V_2}\). Đẳng thức nào sau đây đúng ?
- A \({V_1} = \frac{1}{2}{V_2}\)
- B \({V_1} = {V_2}\)
- C \({V_1} = \frac{2}{3}{V_2}\)
- D \({V_1} = 2{V_2}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính thể tính khối trụ, khối cầu và ứng dụng tích phân để tính thể tích của vật thể tròn xoay.
Lời giải chi tiết:
\({V_1}\) là thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao bằng 8 trừ đi bốn lần thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi vật thể bị giới hạn bởi các đường \(x = 2\sqrt y ;\,\,x = 0;\,\,y = 0;\,\,x = 4\) quay quanh trục Oy.
\( \Rightarrow {V_1} = \pi {.4^2}.8 - 4\pi \int\limits_0^4 {2ydy} = 64\pi \)
\({V_2}\) là thể tích khối cầu có bán kính bằng 4 trừ đi 2 lần thể tích khối cầu có bán kính bằng 2.
\( \Rightarrow {V_2} = \frac{4}{3}\pi \left( {{4^3} - {{2.2}^3}} \right) = 64\pi \)
Vậy \({V_1} = {V_2}\).
Chọn B.
Câu hỏi trước
