Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức \(\frac{1}{{n\sqrt {n + 1}  + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{n\sqrt {n + 1}  + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} \left( {\sqrt n  + \sqrt {n + 1} } \right)}} = \frac{{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n }}{{\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} }} = \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,{S_n} = \frac{1}{{1\sqrt 2  + 2\sqrt 1 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3  + 3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{n\sqrt {n + 1}  + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }}\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ..... + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1\end{array}\)

Chọn A.