Phương pháp giải:

Tìm số đường TCN.

Chứng minh đồ thị hàm số có duy nhất 1 tiệm cận đứng \( \Leftrightarrow \) Phương trình mẫu có đúng 1 nghiệm khác \( - 3\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + 3}}{{{x^2} - x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{x} - \frac{m}{{{x^2}}}}} = 0 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 đường TCN là \(y = 0\).

Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phương trình \({x^2} - x - m = 0\) có 1 đúng 1 nghiệm khác \( - 3\).

TH1 : Phương trình \({x^2} - x - m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm -3 \( \Rightarrow 9 + 3 - m = 0 \Leftrightarrow m = 12\). Khi đó phương trình trở thành \({x^2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 3\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

TH2 : Phương trình \({x^2} - x - m = 0\) có nghiệm duy nhất khác -3 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 1 + 4m = 0\\9 + 3 - m \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - \frac{1}{4}\\m \ne 12\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{4}\).

Vậy \(m = 12\)

Chọn C.