Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình tọa độ giao điểm: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x - 6y = 0\end{array} \right.\)  bằng phương pháp thế.

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\Delta :x - 2y = 0\) và đường tròn \((C):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 6y = 0\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x - 6y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\{(2y)^2} + {y^2} - 2.2y - 6y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\5{y^2} - 10y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy, tọa độ giao điểm là \(\left( {4;2} \right),\,\,\left( {0;0} \right)\).

Chọn: D