Phương pháp giải:

Tính đạo hàm và áp dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({y}'=-{{\cos }^{2}}x.\sin x+\frac{4}{{{\sin }^{2}}x}+\left( m+1 \right).\sin x={{\sin }^{3}}x+\frac{4}{{{\sin }^{2}}x}+m.\sin x\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( 0;\pi  \right)\) khi và chỉ khi \({y}'\ge 0,\ \forall x\in \left( 0;\pi  \right).\)

\(\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x+\frac{4}{{{\sin }^{2}}x}+m.\sin x\ge 0,\ \forall x\in \left( 0;\pi  \right)\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+\frac{4}{{{\sin }^{3}}x}\ge -m,\ \forall x\in \left( 0;\pi \right)\ \ \ \ \left( 1 \right)\)

Xét hàm số: \(g\left( x \right)={{\sin }^{2}}x+\frac{4}{{{\sin }^{3}}x}\), trên khoảng \(\left( 0;\pi  \right)\).

Có \({g}'\left( x \right)=2\sin x.\cos x-\frac{12\cos x}{{{\sin }^{4}}x}=2\cos x.\frac{{{\sin }^{5}}x-6}{{{\sin }^{4}}x}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}\in \left( 0;\pi  \right).\)

Do đó \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow -\,m\le \underset{x\in \left( 0;\pi  \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\Leftrightarrow -\,m\le 5\Leftrightarrow m\ge -\,5.\)

Kết hợp \(m\) nguyên âm nên \(m\in \left\{ -\,5;-\,4;-\,3;-\,2;-\,1 \right\}\).

Vậy có \(5\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn A