Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \(V=\frac{1}{3}S.h\), với S là diện tích của đáy, h là chiều cao của khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của AB.

Tam giác AED vuông tại A \(\Rightarrow DE=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

Theo đề bài, ta có : \(SE\bot (ABCD)\).

\(\Rightarrow \Delta SDE\)vuông tại E \(\Rightarrow SE=\sqrt{S{{D}^{2}}-E{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{3a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}=a\)

Thể tích khối chóp S.ABCD là : \(V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SE=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.a=\frac{{{a}^{3}}}{3}\).

Chọn: B