Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định góc giữa hai mặt phẳng, tính chiều cao và xác định thể tích tứ diện 

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) suy ra \(\Delta ABM\) vuông cân tại \(B\).

Và \(I\) là trung điểm \(AM\Rightarrow AI=\frac{AM}{2}=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{M}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \)

Lại có \(K\) là trung điểm \(AI\Rightarrow HK=\frac{BI}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\cdot \) Suy ra \(\widehat{\left( SAG \right);\left( ABC \right)}=\widehat{\left( HK;SK \right)}=\widehat{SKH}={{60}^{0}}.\)

Tam giác \(SHK\) vuông tại \(H,\) có \(SH=HK.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.\)

Khi đó, thể tích \({{V}_{SABC}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.a.2a.\frac{a\sqrt{6}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\cdot \)

Dựa vào tam giác ABC vuông tại B và có trọng tâm G.

Ta chứng minh được: \({{S}_{ACG}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.\) \(\Rightarrow {{V}_{S.ACG}}=\frac{1}{3}\cdot {{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}\cdot \)

Chọn A