Phương pháp giải:

 Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton để tính tổng 

Lời giải chi tiết:

Ta có \({{\left( 1+x \right)}^{2n+1}}=C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}.x+\,\,...\,\,+C_{2n+1}^{2n}.{{x}^{2n}}+C_{2n+1}^{2n+1}.{{x}^{2n+1}}\) \(\left( * \right).\)

Thay \(x=1\) vào \(\left( * \right),\) ta được \({{2}^{2n+1}}=C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+\,\,...\,\,+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}\) \(\left( 1 \right).\)

Thay \(x=-\,1\) vào \(\left( * \right),\)

ta được \(0=C_{2n+1}^{0}-C_{2n+1}^{1}+\,\,...\,\,+C_{2n+1}^{2n}-C_{2n+1}^{2n+1}\) \(\left( 2 \right).\)

Lấy \(\left( 1 \right)\) trừ \(\left( 2 \right)\) theo vế, ta có \({{2}^{2n+1}}=2\left( C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{3}+\,\,...\,\,+C_{2n+1}^{2n+1} \right)\)\(\Rightarrow {{2}^{2n}}=C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{3}+...+C_{2n+1}^{2n+1}\) \(\Rightarrow {{2}^{2n}}=1024\) \(\Rightarrow {{2}^{2n}}={{2}^{10}}\Rightarrow n=5\).

Chọn B