Lời giải chi tiết:

* Nối \(AC\cap BD=O;\,BM\cap OC=G\).

\(\Delta BCD\) có G là trọng tâm \(\Rightarrow GB=2GM\).

* Qua B dựng Bx // SA \(\Rightarrow Bx\bot \left( ABCD \right).\) Nối \(AH\cap Bx={{S}_{1}}\)

\(\Rightarrow \left( SAC \right)\equiv \left( {{S}_{1}}AC \right)\).

* Ta có :

\(\begin{align}  \frac{GM}{GB}=\frac{d\left( M;\left( HAC \right) \right)}{d\left( B;\left( HAC \right) \right)}=\frac{1}{2} \\  \Rightarrow d\left( M;\left( HAC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( B;\left( {{S}_{1}}AC \right) \right) \\ \end{align}\)

* Vẽ

\(BK\bot {{S}_{1}}O\Rightarrow BK\bot \left( {{S}_{1}}AC \right)\Rightarrow d\left( B;\left( {{S}_{1}}AC \right) \right)=BK\).

* Tính BK :

+ \({{S}_{1}}B//SA\Rightarrow \frac{{{S}_{1}}B}{SA}=\frac{HB}{HS}=\frac{1}{4}\) (Vì \(\frac{SH}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{4}{5}\))

\(\Rightarrow {{S}_{1}}B=\frac{1}{4}SA=\frac{a}{2}\).

+ Tam giác vuông \({{S}_{1}}BO\) : \(\frac{1}{B{{K}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{4}{{{a}^{2}}}=\frac{6}{{{a}^{2}}}\Rightarrow BK=\frac{a}{\sqrt{6}}\)

\(\Rightarrow \) Đáp số \(\frac{a}{2\sqrt{6}}\).

Chọn đáp án D.