Câu hỏi
Chóp S.ABC, \(SA\bot \left( ABCD \right),\,\,ABCD\) là hình vuông, \(AB=a,\,\,SC=a\sqrt{6}\), G là trọng tâm \(\Delta SAB\), K là trung điểm của BC. Tính \(d\left( G;\left( SKD \right) \right)\).
- A \(\frac{a}{\sqrt{6}}\)
- B \(\frac{a}{\sqrt{7}}\)
- C \(\frac{a}{\sqrt{5}}\)
- D \(\frac{a}{\sqrt{3}}\)
Lời giải chi tiết:
* Vẽ M là trung điểm của AB \(\Rightarrow \frac{SG}{SM}=\frac{2}{3}\).
* Nối \(KD\cap AB=I,\,\,\Delta IAD\) có \(BK\) là đường trung bình \(\Rightarrow B\) là trung điểm của IA \(\Rightarrow IA=2a\).
* Đổi khoảng cách \(G\to M\) : \(\frac{SG}{SM}=\frac{d\left( G;\left( SKD \right) \right)}{d\left( M;\left( SKD \right) \right)}=\frac{2}{3}\Rightarrow d\left( G;\left( SKD \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( M;\left( SKD \right) \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).
* Đổi khoảng cách \(M\to A\) : \(\frac{IM}{IA}=\frac{d\left( M;\left( SKD \right) \right)}{d\left( A;\left( SKD \right) \right)}=\frac{3}{4}\Rightarrow d\left( M;\left( SKD \right) \right)=\frac{3}{4}d\left( A;\left( SKD \right) \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
* Từ (1) và (2) \(\Rightarrow d\left( G;\left( SKD \right) \right)=\frac{2}{3}.\frac{3}{4}d\left( A;\left( SKD \right) \right)=\frac{1}{2}AH\).
* Tính AH :
+ \(\Delta SAC\) vuông \(\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=2a\).
+ \(\Delta SAE\) vuông : \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{I}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{1}{4{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{2a}{\sqrt{6}}\).
\(\Rightarrow \) Đáp số \(\frac{a}{\sqrt{6}}\).
Chọn đáp án A.
Câu hỏi trước
