Câu hỏi
Lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C’\), AA’ = a. \(\Delta ABC\) vuông cân có \(AB=a\). M là trung điểm của BB’. \(N\in CC’\) để \(\frac{CN}{CC'}=\frac{1}{3}\). Tính \(d\left( A;\left( A'MN \right) \right)\).
- A \(\frac{5a}{\sqrt{61}}\)
- B \(\frac{6a}{\sqrt{61}}\)
- C \(\frac{7a}{\sqrt{61}}\)
- D \(\frac{8a}{\sqrt{61}}\)
Lời giải chi tiết:
* Nhận xét : Nối \(A'M\cap AB=P;\,\,A'N\cap AC=Q\).
\(\Rightarrow d\left( A;\left( A'MN \right) \right)=d\left( A;\left( A'PQ \right) \right)\).
* Vẽ
\(AE\bot PQ,\,AH\bot A'E\Rightarrow AH\bot \left( A'PQ \right)\Rightarrow d\left( A;\left( A'PQ \right) \right)=AH\).
* Chứng minh \(AH\bot \left( A'PQ \right)\)
* Tính AH :
+ \(\Delta A'AP\) có BM là đường trung bình \(\Rightarrow AP=2AB=2a\).
+ \(\Delta A'AQ\) có CN // AA’
\(\Rightarrow \frac{QC}{QA}=\frac{CN}{AA'}=\frac{1}{3}\Rightarrow CQ=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}\Rightarrow AQ=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}\).
+ Tam giác vuông A’AE : \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{AA{{'}^{2}}}+\frac{1}{A{{P}^{2}}}+\frac{1}{A{{Q}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{a}^{2}}}+\frac{4}{9{{a}^{2}}}.AH=\frac{6a}{\sqrt{61}}\).
Chọn đáp án B.
Câu hỏi trước
