Phương pháp giải:

 Sử dụng định lí Simson xét tỉ lệ thể tích các khối đa diện 

Lời giải chi tiết:

Chuẩn hóa \(CD=1\Rightarrow AB=2\) và \(h=d\left( D;\left( AB \right) \right)\Rightarrow \,\,{{S}_{ABCD}}=\frac{h}{2}.\left( AB+CD \right)=\frac{3}{2}h.\)

Diện tích tam giác \(DAB\) là \({{S}_{\Delta \,ABD}}=\frac{1}{2}.d\left( D;\left( AB \right) \right).AB=h\)\(\Rightarrow \,\,{{S}_{\Delta \,BCD}}=\frac{h}{2}.\)

Ta có \(\frac{{{V}_{S.BMN}}}{{{V}_{S.BAD}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SD}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow \,\,{{V}_{S.BMN}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABD}}=\frac{1}{4}.\frac{2}{3}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{V}_{S.ABCD}}}{6}\) \(\left( 1 \right).\)

Lại có \(\frac{{{V}_{S.BCN}}}{{{V}_{S.BCD}}}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \,\,{{V}_{S.BMN}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.BCD}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{V}_{S.ABCD}}}{6}\) \(\left( 2 \right).\)

Lấy \(\left( 1 \right)+\left( 2 \right),\) ta được \({{V}_{S.BMN}}+{{V}_{S.BCN}}=2.\frac{1}{6}{{V}_{S.ABCD}}\Leftrightarrow \,\,\frac{{{V}_{S.BCNM}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{3}.\)

Chọn C