Phương pháp giải:

Xét hàm số \(y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a\), lập BBT của đồ thị hàm số.

Chia các trường hợp và tìm GTNN của hàm số \(f\left( x \right)=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a \right|.\)

Sử dụng giả thiết \(M\le 2m\) tìm các giá trị a nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a\) có: \(y'=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x.\) 

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 12{x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right..\\
\Rightarrow y\left( 0 \right) = a;\;\;y\left( 1 \right) = a + 1;\;\;y\left( 2 \right) = a.
\end{array}\)

Ta có BBT như hình bên:

TH1: \(a\ge 0\) thì ta thấy trong \(\left[ 0;\ 2 \right]\) đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục \(Ox\Rightarrow M=a+1;\ m=a.\) \(\Rightarrow M\le 2m\Leftrightarrow a+1\le 2a\Leftrightarrow a\ge 1.\)

Mà \(\left\{ \begin{align} & a\in Z \\ & a\in \left[ -3;\ 3 \right] \\ \end{align} \right.\Rightarrow a\in \left\{ 1;\ 2;\ 3 \right\}.\) TH2: \(a+1\le 0\Leftrightarrow a\le -1\)ta thấy trong \(\left[ 0;\ 2 \right]\) đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a\) nằm phía dưới trục \(Ox\) được lấy đối xứng lên phía trên trục \(Ox.\( Khi đó: \(M=a;\ m=a+1.\)

\(\begin{align} & \Rightarrow M\le 2m\Leftrightarrow a\le 2\left( a+1 \right)\Leftrightarrow a\le 2a+2\Leftrightarrow a\ge -2. \\ & \Rightarrow -2\le a\le -1. \\ \end{align}\)

Mà \(\left\{ \begin{align} & a\in Z \\ & a\in \left[ -3;\ 3 \right] \\ \end{align} \right.\Rightarrow a\in \left\{ -1;\ -2 \right\}.\)

TH3: \(a<0<a+1\Leftrightarrow -1<a<0\Rightarrow \) Trường hợp này không có số nguyên nào của a thỏa mãn. Kết hợp 3 TH trên ta có \(a\in \left\{ -2;\ -1;\ 1;\ 2;\ 3 \right\}\Rightarrow \) có 5 giá trị của \(a\) thỏa mãn bài toán.

Chọn D.