Phương pháp giải:

 Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\Rightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\)

Lời giải chi tiết:

 ĐK: \({{x}^{2}}+mx+1>0\).

Ta có \(y'=\frac{2x+m}{{{x}^{2}}+mx+1}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\Rightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 2x+m\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}+mx+1>0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\) \(\begin{align} & \left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge -2x\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\ge 0 \\ & \left( 2 \right)\Leftrightarrow mx>-{{x}^{2}}-1\Leftrightarrow m>\frac{-{{x}^{2}}-1}{x}=f\left( x \right)\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right) \\ \end{align}\) Ta có \(f'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=\frac{-{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=1\) \(\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=-2\Rightarrow m\ge -2\) Vậy \(m\ge 0\).

Khi m = 0 ta có \(y=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)\) có \(y'=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow m=0\) thỏa mãn.

Kết hợp điều kiện bài toán ta có \(m\in Z,\,\,0\le m<10\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3;...;9 \right\}\Rightarrow \) Có 10 giá trị.

Chọn A.