Phương pháp giải:

Để tìm GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm các bước sau:

+) Giải phương trình \(y'=0\) tìm các giá trị \({{x}_{i}}\).

+) Tính các giá trị \(y\left( a \right);\ \ y\left( {{x}_{i}} \right);\ y\left( b \right).\)

+) So sánh các giá trị vừa tính, chọn GTNN của hàm số và kết luận. 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}+x{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1.\) \(\begin{align} & \Rightarrow y\left( -2 \right)=-\frac{2}{{{e}^{2}}};\ \ y\left( -1 \right)=-\frac{1}{e};\ \ y\left( 0 \right)=0. \\ & \Rightarrow \underset{\left[ -2;\ 0 \right]}{\mathop{Min}}\,y=-\frac{1}{e}\ \ khi\ \ \ x=-1. \\ \end{align}\)

Chọn D.