Phương pháp giải:

Để đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\Rightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\) và \(y'=0\) tại hữu hạn điểm.

Đưa bất phương trình về dạng \(f\left( x \right)\ge m\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = 3{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x - \frac{1}{4}.\frac{{ - 4}}{{{x^5}}} = 3{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x + \frac{1}{{{x^5}}}\)

Để đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

\(\begin{array}{l}\Rightarrow 3{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x +\frac{1}{{{x^5}}} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\\Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {m - 1} \right) + \frac{1}{{{x^6}}} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\\Leftrightarrow f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{1}{{{x^6}}} + 2 \ge 2m\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\\Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 6x - \frac{6}{{{x^7}}} = 0\Leftrightarrow {x^8} = 1 \Rightarrow x = \pm 1\\
f\left( 1 \right) = 6;\,\,f\left( { - 1} \right) = 6\end{array}\)

Lập BBT ta tìm được

\(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 6 \Rightarrow 2m \le 6 \Rightarrow m \le 3\)

Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương \(\Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Chọn C.