Phương pháp giải:

 Xét hàm bên trong dấu trị tuyệt đối trên đoạn, so sánh các giá trị để tìm min 

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t={{e}^{x}},\) với \(x\in \left[ 0;\ln 4 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;4 \right].\)

Khi đó, hàm số trở thành: \(g\left( t \right)=\left| {{t}^{2}}-4t+m \right|.\)

Xét hàm số \(u\left( t \right)={{t}^{2}}-4t+m\) trên \(\left[ 1;4 \right],\) có \({u}'\left( t \right)=2t-4=0\Leftrightarrow t=2.\)

Tính \(u\left( 1 \right)=m-3;\,\,u\left( 2 \right)=m-4;\,\,u\left( 4 \right)=m\) suy ra \(g\left( 1 \right)=\left| m-3 \right|;\,\,g\left( 2 \right)=\left| m-4 \right|;\,\,g\left( 4 \right)=\left| m \right|.\)

TH1. \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\,\,\left| m \right|} \right\}\\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 4} \right| = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\,\,\left| m \right|} \right\}\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 10\\
m = - \,2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,m = 10.\)

TH2. \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\,\,\left| m \right|} \right\}\\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 3} \right| = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\,\,\left| m \right|} \right\}\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 9\\
m = - \,3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \) Vô nghiệm.

 TH3. \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\,\,\left| {m - 3} \right|} \right\}\\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( t \right) = \left| m \right| = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\,\,\left| {m - 3} \right|} \right\}\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 6\\
m = - \,6
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,m = - \,6.\)

Vậy \(m=\left\{ 10;-\,6 \right\}\) là hai giá trị cần tìm.

Chọn D