Phương pháp giải:

 Cách 1 : Khảo sát hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị nhỏ nhất. Cách 2 : Giải phương trình \(y'=0\) tìm các nghiệm \({{x}_{i}}.\) +) Tính các giá trị \(y\left( {{x}_{i}} \right);\ \ y\left( a \right);\ \ y\left( b \right).\) +) So sánh các giá trị trên và kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số. 

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+1\) trên \(\left[ -\,4;4 \right],\) có  \(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- \,4 \le x \le 4\\
3{x^2} + 6x - 9 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - \,3
\end{array} \right..\)

Tính giá trị \(y\left( -\,4 \right)=21;\,\,y\left( -\,3 \right)=28;\,\,y\left( 1 \right)=-\,4;\,\,y\left( 4 \right)=77.\)

Vậy \(\underset{\left[ -\,4;4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\,4.\)

Chọn A