Phương pháp giải:

+) Nhóm các tổ hợp có chỉ số dưới bằng nhau.

+) Sử dụng tổng \({{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...C_{n}^{n}={{2}^{n}}\)

+) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.

+) Để S là số có \(1000\) chữ số thì \({{10}^{999}}\le S\le {{10}^{1000}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  S=2+\left( C_{1}^{0}+C_{2}^{0}+...+C_{n}^{0} \right)+\left( C_{1}^{1}+C_{2}^{1}+...+C_{n}^{1} \right)+...+\left( C_{n-1}^{n-1}+C_{n}^{n-1} \right)+C_{n}^{n} \\  S=2+\left( C_{1}^{0}+C_{1}^{1} \right)+\left( C_{2}^{0}+C_{2}^{1}+C_{2}^{2} \right)+\left( C_{3}^{0}+C_{3}^{1}+C_{3}^{2}+C_{3}^{3} \right)+...+\left( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n} \right) \\ \end{align}\)

Xét tổng \({{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...C_{n}^{n}={{2}^{n}}\)

Từ đó ta có: \(S=2+{{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+...+{{2}^{n}}=2+\frac{2\left( 1-{{2}^{n}} \right)}{1-2}=2+2\left( {{2}^{n}}-1 \right)={{2}^{n+1}}\)

Để S là số có \(1000\) chữ số thì \({{10}^{999}}\le {{2}^{n+1}}\le {{10}^{1000}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{10}^{999}}-1\le n\le {{\log }_{2}}{{10}^{1000}}-1\Leftrightarrow 3317,6\le n\le 3320,9\)

n là số nguyên dương \(\Rightarrow n\in \left\{ 3318;3319;3320 \right\}\)

Chọn A.