Phương pháp giải:

Diện tích toàn phần của hình nón \(S=\pi rl+\pi {{R}^{2}}\) trong đó \(R,l\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(r,\,\,l\) lần lượt là bán kính đáy.

Giả sử thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh \(a\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{2},r=\frac{a}{2}\).

Từ giả thiết, ta có \(\frac{1}{{{r}^{2}}}+\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{4}{{{a}^{2}}}+\frac{4}{3{{a}^{2}}}=\frac{1}{3}\Rightarrow a=4=l\Rightarrow r=2\)

Vậy diện tích toàn phần của hình nón là \({{S}_{tp}}=\pi rl+\pi {{r}^{2}}=\pi .2.4+\pi {{.2}^{2}}=12\pi .\)

Chọn D.