Phương pháp giải:

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối nón và áp dụng công thức tính độ dài cùng tròn

Lời giải chi tiết:

Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của phễu hình nón.

Thể tích của khối nón là \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi }{3}{{r}^{2}}\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}},\) với \(l\) là độ dài đường sinh và \(l=R\) bán kính tấm bìa hình tròn \(\Rightarrow \,\,V=\frac{\pi }{3}.{{r}^{2}}\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\frac{\pi }{3}\,\,\times \,\,{{r}^{2}}\sqrt{1-{{r}^{2}}}\)  vì chuẩn hóa \(R=1.\)

Xét hàm số \(f\left( r \right)={{r}^{2}}\sqrt{1-{{r}^{2}}}\) trên \(\left( 0;1 \right),\) có \({f}'\left( r \right)=\frac{2r-3{{r}^{3}}}{\sqrt{1-{{r}^{2}}}};\,\,\forall r\in \left( 0;1 \right).\)

Ta có \({f}'\left( r \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  0<r<1 \\  2r-3{{r}^{3}}=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow r=\frac{\sqrt{6}}{3}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\max f\left( r \right)=f\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}.\)

Do đó \({{V}_{\max }}=\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}.\) Dấu \(''\,\,=\,\,\,''\) xảy ra khi và chỉ khi \(r=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)

Mà độ dài cung phần cuộn làm phễu chính là chu vi đáy hình nón \(\Rightarrow \,\,x.R=\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}\Rightarrow \,\,x=\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}.\)

Chọn A