Phương pháp giải:

Để hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(R\Leftrightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in R\) và \(y'=0\) tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({y}'=-\frac{\sin x}{\cos x+2}-m=-\frac{\sin x+m\cos x+2m}{\cos x+2}.\)

Hàm số đồng biến trên \(R\Leftrightarrow {y}'\ge 0,\,\,\forall x\in R\Leftrightarrow -\left( \sin x+m\cos x+2m \right)\ge 0\Leftrightarrow \sin x+m\cos x\le -\,2m\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+{{m}^{2}}}}\sin x+\frac{m}{\sqrt{1+{{m}^{2}}}}\cos x\le -\frac{2m}{\sqrt{1+{{m}^{2}}}}\)

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & \frac{1}{\sqrt{1+{{m}^{2}}}}=\cos \alpha  \\ & \frac{m}{\sqrt{1+{{m}^{2}}}}=\sin \alpha  \\\end{align} \right.\Rightarrow \sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha =\frac{-2m}{\sqrt{1+{{m}^{2}}}}\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha  \right)=\frac{-2m}{\sqrt{1+{{m}^{2}}}}\)

\( \Leftrightarrow - \frac{{2m}}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} \ge 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- \,2m \ge 0\\
4{m^2} \ge 1 + {m^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 0\\
{m^2} \ge \frac{1}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m \ge \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\
m \le - \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow m \le - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow m \in \left( { - \,\infty ;\, - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right].\)

Chọn B.