Phương pháp giải:

+) Tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(\left( C \right).\)  Hoành độ của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: \(y'=0.\)

+) Lập phương đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A\left( {{x}_{A}};\ {{y}_{A}} \right),\ \ B\left( {{x}_{B}};\ {{y}_{B}} \right)\) theo công thức: \(\frac{x-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}=\frac{y-{{y}_{A}}}{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}.\)

+) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(AB\) và trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(AB\) và đường thẳng \(y=0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'=\frac{\left( 2x-2 \right)\left( x-1 \right)-{{x}^{2}}+2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1+\sqrt{2}\Rightarrow y=2\sqrt{2}\Rightarrow A\left( 1+\sqrt{2};\ 2\sqrt{2} \right) \\  & x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=-2\sqrt{2}\Rightarrow B\left( 1-\sqrt{2};-2\sqrt{2} \right) \\ \end{align} \right..\)

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B là: \(\frac{x-1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}-1-\sqrt{2}}=\frac{y-2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}}\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \frac{x-1-\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}=\frac{y-2\sqrt{2}}{-4\sqrt{2}} \\  & \Leftrightarrow 2\left( x-1-\sqrt{2} \right)=y-2\sqrt{2} \\  & \Leftrightarrow y=2x-2. \\ \end{align}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là: \(2x-2=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow {{x}_{M}}=1.\)

Chọn C.