Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và tính diện tích tam giác

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D=R\)

Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}-4\left( 1-{{m}^{2}} \right)x;\,\,\forall x\in R.\)

Phương trình \({y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  x=0 \\  {{x}^{2}}=1-{{m}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right..\)

Hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow \,\,\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(1-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow -1<m<1.\)

Khi đó \(y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  x=0\Rightarrow y=m+1 \\  x=\sqrt{1-{{m}^{2}}}\Rightarrow y=-{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+m+1 \\  x=-\sqrt{1-{{m}^{2}}}\Rightarrow y=-{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+m+1 \\ \end{align} \right.\)

Gọi \(A\left( 0;m+1 \right),\,\,B\left( \sqrt{1-{{m}^{2}}};-\,{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+m+1 \right),\,\,C\left( -\,\sqrt{1-{{m}^{2}}};-\,{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+m+1 \right)\) là ba điểm cực trị. Tam giác \(ABC\) cân tại A.

Trung điểm \(H\) của \(BC\) là \(H\left( 0;-{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+m+1 \right)\Rightarrow \,\,AH={{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}={{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{2}}\)

Và \(BC=2\sqrt{1-{{m}^{2}}}\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{1}{2}.AH.BC={{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{2}}\sqrt{1-{{m}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{5}}}\)

Mà \(1-{{m}^{2}}\le 1;\,\,\forall m\in R\) suy ra \(\sqrt{{{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{5}}}\le 1\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}\le 1.\)

Vậy \({{S}_{\max }}=1.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(m=0.\)

Chọn A