Phương pháp giải:

Chuẩn hóa thể tích, đưa diện tích toàn phần về hàm số, khảo sát hàm (hoặc bất đẳng thức) tìm min

Lời giải chi tiết:

Thể tích của khối trụ là \(V=\pi {{R}^{2}}h\Rightarrow \,\,h=\frac{V}{\pi {{R}^{2}}}.\) Chuẩn hóa \(V=\pi \,\,\Rightarrow \,\,h=\frac{1}{{{R}^{2}}}.\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là \({{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=2\pi R.\frac{1}{{{R}^{2}}}+2\pi {{R}^{2}}\)

\(=2\pi \left( {{R}^{2}}+\frac{1}{R} \right)=2\pi \left( {{R}^{2}}+\frac{1}{2R}+\frac{1}{2R} \right)\ge 2\pi .3\sqrt[3]{{{R}^{2}}.\frac{1}{2R}.\frac{1}{2R}}=\frac{6\pi }{\sqrt[3]{4}}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \({{R}^{2}}=\frac{1}{2R}\Leftrightarrow h=\frac{1}{{{R}^{2}}}=2R\)

Chọn B.