Phương pháp giải:

Xác định hình chiếu của đỉnh, xác định góc để tìm chiều cao và áp dụng công thức thể tích

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD,\) \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABD.\)

Ta có \(SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \,\,\widehat{SD;\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SD;HD \right)}=\widehat{SDH}={{60}^{0}}.\)

ABCD là hình vuông cạnh a nên \(OD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(HO=\frac{1}{3}AO=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{6}\)

Tam giác \(HDO\) vuông tại \(O,\) có \(HD=\sqrt{O{{D}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{3}.\)

Tam giác \(SHD\) vuông tại \(H,\) có \(\tan \widehat{SDH}=\frac{SH}{HD}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{15}}{3}.\)

Vậy thể tích cần tính là \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}.\)

Chọn C.