Phương pháp giải:

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 1;+\infty  \right)\Rightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\) và \(y'=0\) tại hữu hạn điểm thuộc \(\left( 1;+\infty  \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y'=4{{m}^{2}}{{x}^{3}}-4\left( 4m-1 \right)x=4x\left( {{m}^{2}}{{x}^{2}}-4m+1 \right).\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow y'\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}{{x}^{2}}-4m+1\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 1;+\infty  \right)\)          (1)

Rõ ràng \(m=0\) thỏa mãn (1).

Với \(m\ne 0\) thì (1)  \( \Leftrightarrow {x^2} \ge \frac{{4m - 1}}{{{m^2}}}\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow \frac{{4m - 1}}{{{m^2}}} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} - 4m + 1 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m \ge 2 + \sqrt 3 \\
m \le 2 - \sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Vậy có 16 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.