Lời giải chi tiết:

Gọi r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Thể tích khối nón là \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}\), với h là chiều cao khối nón.

Ta có \({{r}^{4}}\left( {{l}^{2}}-{{r}^{2}} \right)=4.\frac{{{r}^{2}}}{2}.\frac{{{r}^{2}}}{2}.\left( {{l}^{2}}-{{r}^{2}} \right)\le \frac{4}{27}{{\left( \frac{{{r}^{2}}}{2}+\frac{{{r}^{2}}}{2}+{{l}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}^{3}}=\frac{4}{27}{{l}^{6}}\)

Suy ra \({{r}^{2}}\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}\le \frac{2{{l}^{3}}}{3\sqrt{3}}\Rightarrow {{V}_{\left( N \right)}}\le \frac{2\pi {{l}^{3}}}{9\sqrt{3}}.\) Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{{{r}^{2}}}{2}={{l}^{2}}-{{r}^{2}}\Leftrightarrow {{l}^{2}}=\frac{3{{r}^{2}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mà x là chu vi đường tròn đáy hình nón \(\Rightarrow x=2\pi r\) và đường sinh \(l=R\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra \({{R}^{2}}=\frac{3}{2}.{{\left( \frac{x}{2\pi } \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{8{{\pi }^{2}}{{R}^{2}}}{3}\Rightarrow x=\frac{2\pi R\sqrt{6}}{3}.\)

Đáp án A