Phương pháp giải:

+) Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AB’D’), suy ra điểm C’.

+) Sử dụng tỉ số thể tích.

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

\(I=SO\cap B'D'\Rightarrow C'=AI'\cap SC.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & BC\bot AB \\  & BC\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot AB'\)

Lại có \(AB'\bot SB\Rightarrow AB\bot 'SC\), tương tự \(AD'\bot SC\)

Do đó \(AC'\bot SC\)

Xét tam giác SAB có:

\(SB'.SB=S{{A}^{2}}\Rightarrow \frac{SB'}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{2}{3}\)

Tương tự \(\frac{SC'}{SC}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{2}{4}\)

Do đó \(\frac{{{V}_{S.AB'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{2}{3}.\frac{2}{4}=\frac{1}{3},\) do tính chất đối xứng nên:\(\frac{{{V}_{S.AB'C'D'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{3};{{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\Rightarrow V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{9}.\)

Đáp án C