Phương pháp giải:

Tìm tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số, tính diện tích và tìm giá trị lớn nhất.

Cho hàm số : \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\ \ \left( a\ne 0 \right)\) có 3 điểm cực trị A, B và C.

Khi đó công thức tính nhanh diện tích tam giác ABC là : \({{S}_{ABC}}=\sqrt{-\frac{{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}+4m\left( m+2 \right)x;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4m\left( {m + 2} \right)x = 0\\
\Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} + m\left( {m + 2} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
g\left( x \right) = {x^2} + m\left( {m + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi \( \Rightarrow m\left( {m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow -2 < m < 0\)

Gọi \(A\left( 0;m+2 \right),\,\,B\left( \sqrt{-\,{{m}^{2}}-2m};{{y}_{B}} \right),\,\,C\left( -\,\sqrt{-\,{{m}^{2}}-2m};{{y}_{C}} \right)\) là ba điểm cực trị.

Dựa vào công thức tam giác cực trị của hàm trùng phương ta có diện tích \(\Delta \,ABC\) là:

 \({{S}_{\Delta \,ABC}}={{\left( -\,{{m}^{2}}-2m \right)}^{2}}\sqrt{-\,{{m}^{2}}-2m}={{\left( 1-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right)}^{\,2}}\sqrt{1-{{\left( m+1 \right)}^{2}}}.\)

Mà \({{\left( m+1 \right)}^{2}}\ge 0;\,\,\forall m\Rightarrow 1-{{\left( m+1 \right)}^{2}}\le 1\Rightarrow S\le 1.\)

 Dấu \(''\,\,=\,\,''\) xảy ra khi \(m=-\,1.\) (tm)

Chọn C