Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ, tìm tọa độ A, B và sử dụng tích vô hướng để tìm tham số m

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : \(x\ne 2.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(\frac{3x-1}{x-2}=x+m\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( m-5 \right)x-2m+1=0.\)

Để \(\left( C \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(A,\,\,B\)\(\Leftrightarrow \,\,f\left( x \right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
f\left( 2 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m - 5} \right)^2} - 4\left( { - 2m + 1} \right) > 0\\
4 + 2\left( {m - 5} \right) - 2m + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 2m + 21 > 0\\
- 5 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,m \in \mathbb{R}\)

Gọi \(A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),\,\,B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)\)là hai giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Khi đó  \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=0\) thỏa mãn hệ thức Vi-et : \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5-m \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1-2m \\\end{align} \right..\)

Có : \(\overrightarrow{OA}=\left( {{x}_{1}};\ {{x}_{1}}+m \right);\ \ \overrightarrow{OB}=\left( {{x}_{2}};\ {{x}_{2}}+m \right).\)

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O,\) có :

\(\begin{align}  & \overrightarrow{\ \ \ \ OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}+m \right)\left( {{x}_{2}}+m \right)=0 \\  & \Leftrightarrow 2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=0. \\  & \Leftrightarrow 2\left( 1-2m \right)+m\left( 5-m \right)+{{m}^{2}}=0 \\  & \Leftrightarrow m+2=0\Leftrightarrow m=-\,2. \\ \end{align}\)

Chọn D