Phương pháp giải:

Xác định các kích thước của hình hộp chữ nhật thông qua độ dài cạnh hình vuông bị cắt bỏ, tính thể tích, khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất của thể tích

Lời giải chi tiết:

Hình vẽ tham khảo

Gọi \(x\) là độ dài cạnh của miếng tôn bị cắt bỏ \(\Rightarrow \,\,x\) là chiều cao của khối hộp chữ nhật.

Kích thước 2 cạnh đáy của hình hộp là \(10-2x\) và \(16-2x\)  \(\left( m \right).\)

Thể tích khối hộp chữ nhật là \(V=abc=x\left( 10-2x \right)\left( 16-2x \right)=4\left( {{x}^{3}}-13{{x}^{2}}+40x \right).\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=4\left( {{x}^{3}}-13{{x}^{2}}+40x \right)\) trên \(\left( 0;5 \right),\) có \({f}'\left( x \right)=4\left( 3{{x}^{2}}-26x+40 \right).\)

Phương trình \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-26x+40=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{20}{3}\ \notin \ \left( 0;\ 5 \right) \\ & x=2\ \ \in \left( 0;\ 5 \right) \\\end{align} \right..\)

Suy ra \(\max f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=144.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=2.\) Vậy độ dài cạnh cần tìm là \(2\,\,m.\)

Chọn A