Câu hỏi
Sân trường THPT Chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích S1, S2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S3, S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết
kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/ 1 m2, kinh phí trồng cỏ là 100.000 đồng/1m2. Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).
- A 3.000.000 đồng
- B 6.060.000 đồng
- C 3.270.000 đồng
- D 5.790.000 đồng
Phương pháp giải:
Gắn hệ trục tọa độ Oxy hợp lý, viết các phương trình đường tròn và phương trình parabol.
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Lời giải chi tiết:
Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, do ABCD là hình vuông cạnh 4m nên ta có \(A\left( -2;2 \right);B\left( 2;2 \right),C\left( 2;-2 \right);D\left( -2;-2 \right)\), từ đó ta dễ dàng viết được phương trình đường tròn là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\) và phương trình 2 parabol là \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\) và \(y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}\).
Ta có: S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường tròn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\) và parabol (P): \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\)
\(\begin{align}& \Rightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{3}}=4\int\limits_{0}^{2}{\left( \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)dx}=15,23={{S}_{3}}\,\,\left( {{m}^{2}} \right) \\ & {{S}_{2}}+{{S}_{4}}=2\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{S}_{1}}-{{S}_{3}}=35,04\,\left( {{m}^{2}} \right) \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \) Chi phí để trồng bồn hoa đó là: \(15,23.150+35,04.100\approx 5790\) (nghìn đồng).
Chọn D.
Câu hỏi trước
