Phương pháp giải:

+ Từ giả thiết ta viết được phương trình đường tròn và phương trình parabol.

+ $S_1$ là phần diện tích giới hạn bởi parabol; đường tròn và hai đường thẳng $x = 2$; $x = -2$. Từ đó sử dụng công thức diện tích hình phẳng bằng ứng dụng tích phân để tính $S_1$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x)$; $y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = a; x = b$ là $S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.

+ Từ đó tính $S_1; S_2; S_3; S_4$ và tính tiền trồng bồn hoa.

Lời giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ và như hình.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh 4 nên:

$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = 4\sqrt{2} \Rightarrow OB = 2\sqrt{2}$ và $A(-2; 2)$; $B(2; 2)$.

Phương trình đường tròn tâm $O$ bán kính $r = 2\sqrt{2}$ là:

$x^2 + y^2 = 8 \Rightarrow y = \sqrt{8 - x^2}$.

Parabol đi qua hai điểm $A(-2; 2)$, $B(2; 2)$ có đỉnh $O(0; 0)$ có dạng: $y = ax^2$ $(a \neq 0)$

Khi đó $2 = a.2^2 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}x^2$ (P)

Từ đồ thị ta có $S_1$ là giới hạn của hai đồ thị hàm số $y = \sqrt{8 - x^2}$ và $y = \frac{1}{2}x^2$ và hai đường thẳng $x = -2$; $x = 2$.

Nên ta có $S_1 = \int_{-2}^{2} \left( \sqrt{8 - x^2} - \frac{1}{2}x^2 \right) dx = 2\pi + \frac{4}{3}$.

Lại thấy $S_1 = S_2; S_3 = S_4$ (vì hai parabol đối xứng nhau qua đỉnh O), diện tích cả bốn hoa là $S = \pi r^2 = \pi \left( 2\sqrt{2} \right)^2 = 8\pi$.

Từ đó diện tích trồng hoa là: $S_1 + S_2 = 2S_1 = 4\pi + \frac{8}{3}$ $(m^2)$

Diện tích trồng cỏ là: $S_3 + S_4 = S - (S_1 + S_2) = 4\pi - \frac{8}{3}$ $(m^2)$

Nên tổng số tiền trồng bồn hoa là $\left( 4\pi + \frac{8}{3} \right) \cdot 150000 + \left( 4\pi - \frac{8}{3} \right) \cdot 100000 \approx 3274926$ (đồng).