Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

Tính độ dài đoạn thẳng AB, sử dụng định lí Vi-et.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{align}  & \frac{2x+1}{x+1}=x+m-1\,\,\left( x\ne -1 \right) \\  & \Leftrightarrow 2x+1={{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+x+m-1 \\  & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+m-2=0\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)

Để (C) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - 1} \right)^2} + \left( {m - 2} \right)\left( { - 1} \right) + m - 2 \ne 0\\
{\left( {m - 2} \right)^2} - 4.\left( {m - 2} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - m + 2 + m - 2 \ne 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m - 2 > 4\\
m - 2 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 \ne 0\,\,\left( {luon\,dung} \right)\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 6\\
m < 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 6\\
m < 2
\end{array} \right..\)

Khi đó gọi \({{x}_{A}};{{x}_{B}}\) là hoành độ các điểm A, B là hai nghiệm của phương trình (*) \(\Rightarrow A\left( {{x}_{A}};{{x}_{A}}+m-1 \right);\,\,B\left( {{x}_{B}};{{x}_{B}}+m-1 \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}=2{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}\)

Theo định lí Vi-et ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = 2 - m\\
{x_A}.{x_B} = m - 2
\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} = {\left( {{x_A} + {x_B}} \right)^2} - 4{x_A}{x_B} = {\left( {2 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 8m + 12\\
\Rightarrow A{B^2} = 2\left( {{m^2} - 8m + 12} \right) = 12 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 12 = 6 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 4 \pm \sqrt {10} \,\,\left( {tm} \right)
\end{array}\)

Chọn D.