Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}\) : \(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+y\left( {{x}_{0}} \right)\,\,\left( d \right)\)

Lấy điểm \(A\left( a;9a-14 \right)\) thuộc đường thẳng \(y=9x-14\), cho \(A\in d\Rightarrow pt\,\left( 1 \right)\).

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Tìm điều kiện của a để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Có bao nhiêu giá trị của a thì có bấy nhiêu điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

TXĐ : D = R.

Ta có : \(y'=3{{x}^{2}}-3\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-3{{x}_{0}}+2 \right)\) là :

\(y=\left( 3x_{0}^{2}-3 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3{{x}_{0}}+2\,\,\left( d \right)\)

Lấy điểm \(A\left( a;9a-14 \right)\in \left( y=9x-14 \right)\), vì \(A\in d\) nên ta có :

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,9a - 14 = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {a - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 2\,\,\left( 1 \right)\\
\Leftrightarrow 9a - 14 = 3ax_0^2 - 3x_0^3 - 3a + 3{x_0} + x_0^3 - 3{x_0} + 2\\
\Leftrightarrow - 2x_0^3 + 3ax_0^2 - 12a + 16 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2} \right)\left( { - 2x_0^2 + \left( {3a - 4} \right){x_0} + 6a - 8} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} - 2 = 0\\
- 2x_0^2 + \left( {3a - 4} \right){x_0} + 6a - 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
- 2x_0^2 + \left( {3a - 4} \right){x_0} + 6a - 8 = 0\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Để qua A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

TH1 : \({{x}_{0}}=2\) là nghiệm của phương trình (2) ta có :

\(-{{2.2}^{2}}+6a-8+6a-8=0\Leftrightarrow a=2\)

Khi đó phương trình (2) có dạng \(-2x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{0}}=2 \\  & {{x}_{0}}=-1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Vậy a = 2 thỏa mãn.

TH2 : \({{x}_{0}}=2\) không là nghiệm của phương trình (2), khi đó để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) có nghiệm kép khác 2.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {\left( {3a - 4} \right)^2} + 8\left( {6a - 8} \right) = 0\\
a \ne 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9{a^2} + 24a - 48 = 0\\
a \ne 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \frac{4}{3}\\
a = - 4
\end{array} \right.\)

Vậy có 3 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.