Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right):\,\,y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\,\left( d \right).\)

Tìm các giao điểm M, N của d với các trục tọa độ.

Tam giác OMN vuông tại O. Tính diện tích \(\Delta OMN.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' = {{ - 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 2 \right) =  - 2\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {2;5} \right)\) là:

\(y = y'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + 5 =  - 2\left( {x - 2} \right) + 5 =  - 2x +9\,\,\,\left( d \right)\)

Gọi \(M = d \cap Ox \Rightarrow M\left( {  {9 \over 2};0} \right),\,\,N = d \cap Oy \Rightarrow N\left( {0; 9} \right)\)

\( \Rightarrow OM = {9 \over 2};\,\,ON = 9 \Rightarrow {S_{OMN}} = {1 \over 2}OM.ON = {81 \over 4}\).

Chọn B.