Phương pháp giải:

Viết phương trình hoành độ giao điểm, áp dụng hệ thức Viet để giải quyết yêu cầu bài toán

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(Ox\) là \({{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( 3m-1 \right)x+6m=0\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-x-3m{{x}^{2}}+3mx+6m=0\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x \right)-3m\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-\left( 3m+1 \right)x+6m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\ & \underbrace{{{x}^{2}}-\left( 3m+1 \right)x+6m}_{f\left( x \right)}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\\end{align} \right.\)

Để \(\left( C \right)\) cắt \(Ox\) tại ba điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \,\,\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(-\,1.\)

Khi và chỉ khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( { - \,1} \right) \ne 0\\
\Delta = {\left( {3m + 1} \right)^2} - 4.6m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - \,1} \right)^2} + \left( {3m - 1} \right).\left( { - \,1} \right) + 6m \ne 0\\
9{m^2} - 6m + 1 - 24m > 0
\end{array} \right.\) \(\left( I \right).\)

Gọi \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3m+1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=6m \\\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Mà \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=20\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=19\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=19\)           \(\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \({{\left( 3m+1 \right)}^{2}}-3.6m=19\)\(\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-12m-18=0\Leftrightarrow m=\frac{2\,\pm \,\sqrt{22}}{3}\)  (thỏa mãn \(\left( I \right)\)).

Chọn D