Phương pháp giải:

Viết phương trình hoành độ giao điểm, áp dụng hệ thức Viet để giải quyết yêu cầu bài toán

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(\frac{2x+1}{x+1}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne -\,1 \\ & \underbrace{{{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m-1}_{f\left( x \right)}=0 \\\end{align} \right.\)

Để \(\left( C \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(-\,1\)\(\Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{align}  & m>5 \\& m<1 \\\end{align} \right..\)

Khi đó, gọi \(A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),\,\,B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)\) là tọa độ giao điểm, với \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1 \\\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O,\) có \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}+m \right)\left( {{x}_{2}}+m \right)=0\)                   \(\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)+m\left( 1-m \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}.\)

Chọn B