Phương pháp giải:

Giải phương trình tổ hợp để tìm n, áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng cần tìm

Lời giải chi tiết:

Ta có \(A_{n}^{3}+C_{n}^{n\,-\,2}=14n\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-3 \right)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!.2!}=14n\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=14n\)

\(\Leftrightarrow {{n}^{2}}-3n+2+\frac{n-1}{2}=14\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}-5n-25=0\Leftrightarrow n=5\) (vì điều kiện \(n\ge 3\))

Khi đó \(f\left( x \right)={{\left( \frac{1}{4}{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{15}}=\frac{1}{16}{{\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{15}}=\frac{1}{16}{{\left( x+2 \right)}^{19}}.\)

Xét khai triển \({{\left( x+2 \right)}^{19}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{19}{C_{19}^{k}}.{{x}^{19\,-\,k}}{{.2}^{k}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{19}{C_{19}^{k}}{{.2}^{k}}.{{x}^{19\,-\,k}}.\)

Hệ số của \({{x}^{10}}\) ứng với \(19-k=10\Leftrightarrow k=9.\) Vậy hệ số cần tìm là \(\frac{1}{16}.C_{19}^{9}{{.2}^{9}}={{2}^{5}}.C_{19}^{9}.\)

Chọn D