Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương từng đáp án. Sử dụng các công thức nhân đôi, nhân ba, công thức hạ bậc.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \sin \,x{\cos ^3}x - \cos x{\sin ^3}x = \sin \,x.{{3\cos x + \cos 3x} \over 4} - \cos x.{{3\sin \,x - \sin 3x} \over 4}  \cr   &  = {3 \over 4}\sin \,x\cos x + {1 \over 4}\sin \,x\cos 3x - {3 \over 4}\sin \,x\cos \,x + {1 \over 4}\sin 3x\cos x  \cr   &  = {1 \over 4}\left( {\sin \,x\cos 3x + \sin 3x\cos x} \right) = {1 \over 4}\sin (x + 3x) = {{\sin 4x} \over 4} \cr} \)

\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x = 1 - {1 \over 2}.{{1 - \cos 4x} \over 2} = {{3 + \cos 4x} \over 4}\)

\({\cot ^2}x + {\tan ^2}x = {{{{\cos }^2}x} \over {{{\sin }^2}x}} + {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} \over {{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = {{{{3 + \cos 4x} \over 4}} \over {{1 \over 4}{{\sin }^2}2x}} = {{3 + \cos 4x} \over {{1 \over 2}(1 - \cos 4x)}} = {{2\cos 4x + 6} \over {1 - \cos 4x}}\)

Chọn: C