Phương pháp giải:

+) Biến đổi tử số và mẫu số.

+) Sử dụng tính chất \(A + B + C = \pi \)

+) Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích.

+) Sử dụng các tính chất của các góc phụ nhau, bù nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & \cos A + \cos B - \cos C + 1 = 2\cos {{A + B} \over 2}\cos {{A - B} \over 2} + 2{\sin ^2}{C \over 2}  \cr   &  = 2\cos \left( {{\pi  \over 2} - {C \over 2}} \right)\cos {{A - B} \over 2} + 2{\sin ^2}{C \over 2}  \cr   &  = 2\sin {C \over 2}\cos {{A - B} \over 2} + 2{\sin ^2}{C \over 2}  \cr   &  = 2\sin {C \over 2}\left( {\cos {{A - B} \over 2} + \sin {C \over 2}} \right)  \cr   &  = 2\sin {C \over 2}\left( {\cos {{A - B} \over 2} + \cos {{A + B} \over 2}} \right)  \cr   &  = 2\sin {C \over 2}.2\cos {A \over 2}.\cos {B \over 2} = 4\cos {A \over 2}\cos {B \over 2}\sin {C \over 2}  \cr   & \sin A + \sin B + \sin C = 2\sin {{A + B} \over 2}\cos {{A - B} \over 2} + 2\sin {C \over 2}\cos {C \over 2}  \cr   &  = 2\sin \left( {{\pi  \over 2} - {C \over 2}} \right)\cos {{A - B} \over 2} + 2\sin {C \over 2}\cos {C \over 2}  \cr   &  = 2\cos {C \over 2}\cos {{A - B} \over 2} + 2\sin {C \over 2}\cos {C \over 2}  \cr   &  = 2\cos {C \over 2}\left( {\cos {{A - B} \over 2} + \sin \left( {{\pi  \over 2} - {{A + B} \over 2}} \right)} \right)  \cr   &  = 2\cos {C \over 2}\left( {\cos {{A - B} \over 2} + \cos {{A + B} \over 2}} \right)  \cr   &  = 2\cos {C \over 2}.2\cos {A \over 2}\cos {B \over 2} = 4\cos {A \over 2}\cos {B \over 2}\cos {C \over 2}  \cr   & {{\cos A + \cos B - \cos C + 1} \over {\sin A + \sin B + \sin C}} = {{4\cos {A \over 2}\cos {B \over 2}\sin {C \over 2}} \over {4\cos {A \over 2}\cos {B \over 2}\cos {C \over 2}}} = \tan {C \over 2}  \cr   &  \Rightarrow \tan {C \over 2} = 1 \Leftrightarrow {C \over 2} = {45^0} \Leftrightarrow C = {90^0} \cr} \)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C.

Chọn: C