Phương pháp giải:

Đặt SA = x, xây dựng hàm số chứa biến x từ giả thiết, khảo sát hàm số để tìm x

Lời giải chi tiết:

Đặt SA = x (km) \(\left( 0<x<4 \right)\)

Độ dài đoạn thẳng \(SB\) là \(SB=AB-SA=4-x\,\,km.\)

Độ dài đoạn thẳng \(SC\) là \(SC=\sqrt{B{{C}^{2}}+S{{B}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( 4-x \right)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}\,\,km.\)

Do đó, chi phí để mắc dây diện từ \(C\,\,\xrightarrow{{}}\,\,A\) là \(T=\)\(100\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}+80x\) triệu đồng.

Xét hàm số \(f\left( x \right)=10\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}+8x\) trên khoảng \(\left( 0;4 \right),\) có

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 100.\frac{{2x - 8}}{{2\sqrt {{x^2} - 8x + 17} }} + 80 = \frac{{100\left( {x - 4} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 17} }} + 80\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 100\left( {x - 4} \right) + 80\sqrt {{x^2} - 8x + 17} = 0\\
\Leftrightarrow 4\sqrt {{x^2} - 8x + 17} = 5\left( {4 - x} \right)\\
\Leftrightarrow 16\left( {{x^2} - 8x + 17} \right) = 25{x^2} - 200x + 400\\
\Leftrightarrow 9{x^2} - 72x + 128 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{8}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\\
x = \frac{{16}}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(\min f\left( x \right)=f\left( \frac{8}{3} \right).\) Vậy giá trị cần tìm là \(x=\frac{8}{3}\,\,km.\)

Chọn C