Phương pháp giải:

Đưa về phương trình lượng giác cơ bản dạng a.sinx + b.cosx = c và sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình :\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}\Leftrightarrow \cos x+2\sin x+3=y\left( 2\cos x-\sin x+4 \right).\)

\(\Leftrightarrow \cos x+2\sin x+3=2y.\cos x-y.\sin x+4y\)\(\Leftrightarrow \left( y+2 \right).\sin x+\left( 1-2y \right).\cos x=4y-3\)       \(\left( * \right).\)

Để phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{align}  & {{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2y \right)}^{2}}\ge {{\left( 4y-3 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{y}^{2}}+4y+4+4{{y}^{2}}-4y+1\ge 16{{y}^{2}}-24y+9 \\ & \Leftrightarrow 11{{y}^{2}}-24y+4\le 0\Leftrightarrow \frac{2}{11}\le y\le 2. \\\end{align}\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(M=2,\) giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m=\frac{2}{11}.\)

Chọn C.