Phương pháp giải:

Vẽ hình, tính toán xác định diện tích các mặt xung quanh của hình chóp cụt tứ giác đều.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình vuông \(ABCD\) là \({{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}={{a}^{2}}.\)

Diện tích hình vuông \({A}'{B}'{C}'{D}'\) là \({{S}_{{A}'{B}'{C}'{D}'}}=A'B{{'}^{2}}=4{{a}^{2}}.\)

Các mặt bên của hình chóp cụt \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) là các hình thang cân có diện tích bằng nhau.

Gọi \(O,\,\,{O}'\) lần lượt là tâm của hình vuông \(ABCD,\,\,{A}'{B}'{C}'{D}'\)

Nối \(O{O}'\) cắt \(A{A}'\) tại \(S,\) khi đó \(S{A}'=\sqrt{S{{{{O}'}}^{2}}+{O}'{{{{A}'}}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{10}.\)

Suy ra \(A{A}'=\frac{S{A}'}{2}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\).

Xét hình thang ABA’B’ ta có : \(A'H=\frac{A'B'-AB}{2}=\frac{2a-a}{2}=\frac{a}{2}.\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{AA{{'}^{2}}-A'H}=\sqrt{\frac{10{{a}^{2}}}{4}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{3a}{2}.\)

Diện tích hình thang cân \(A{A}'{B}'B\) là : \(S={{S}_{AA'B'B}}=\frac{AB+A'B'}{2}.AH=\frac{2a+a}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{9{{a}^{2}}}{4}.\)  

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp cụt là\({S_{xq}} = S _{ABCD} + {S_{A'B'C'D'}} + 4.S = {a^2} + 4{a^2} + 4.\frac{{9{a^2}}}{4} = 14{a^2}.\)

Chọn C