Phương pháp giải:

Xác định khoảng cách, biện luận góc và vị trí điểm để tìm GTLN của thể tích.

Lời giải chi tiết:

Xét khối chóp tam giác \(S.ABC,\) có \(\left\{ \begin{align}  & SA=a,\,\,SB=2a \\ & SC=3a,\,\,\widehat{ASB}=\alpha  \\\end{align} \right.\) và \(h\) là khoảng cách từ \(C\,\,\xrightarrow{{}}\,\,mp\,\,\left( SAB \right).\)

Khi đó, thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V=\frac{1}{3}.d\left( C;\left( SAB \right) \right).{{S}_{\Delta \,SAB}}\)       \(\left( 1 \right).\)

Diện tích tam giác \(SAB\) là \({{S}_{\Delta \,SAB}}=\frac{1}{2}.SA.SB.\sin \widehat{ASB}={{a}^{2}}.\sin \alpha \)      \(\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(V=\frac{1}{3}.h.{{a}^{2}}.\sin \alpha \) mà \(\left\{ \begin{align}  & \sin \alpha \le 1 \\ & h\le SC=3a \\\end{align} \right.\)\(\Rightarrow V\le \frac{1}{3}.3a.{{a}^{2}}={{a}^{3}}.\)

Chọn C